数学常数e的含义

1.

e是一个重要的常数,但是我一直不知道,它的真正含义是什么。

它不像π。大家都知道,π代表了圆的周长与直径之比3.14159,可是如果我问你,e代表了什么。你能回答吗?

维基百科说:

"e是自然对数的底数。"

但是,你去看"自然对数",得到的解释却是:

"自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。"

这就构成了循环定义,完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很"自然",这难道不是很奇怪的事情吗?

2.

昨天我读到一篇好文章,它把这个问题解释得非常清楚,而且一看就懂。

它说,什么是e?简单说,e就是增长的极限。

下面就是它的解释。

3.

假定有一种单细胞生物,它每过24小时分裂一次。

那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天是1个,明天就是2个,后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式:

上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数,就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样:

其中,1表示原有数量,100%表示单位时间内的增长率。

4.

我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。

因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。

当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。

如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段。

那么,最后我们就可以得到大约2.37个细胞。

很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?

当n趋向无限时,这个式子的极值等于2.718281828...。

因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。

这个值是自然增长的极限,因此以e为底的对数,就叫做自然对数。

5.

有了这个值以后,计算银行的复利就非常容易。

假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

回答就是271.828元,等于100个e。

但是,实际生活中,银行的利息没有这么高,如果利息率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢?

为了便于思考,我们取n等于50:

我们知道,在100%利息率的情况下,n=1000所得到的值非常接近e:

因此,5%利息率就相当于e的20分之一次方:

20分之一正好等于5%的利率率,所以我们可以把公式改写成:

上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算,前提是它必须是持续不断的复合式增长。

6.

再考虑时间因素,如果把钱在银行里存2年,可以得到多少钱?

在时间t的情况下,通用公式就是:

上式就是计算增长量的万能公式,可以适用于任何时间、任何增长率。

7.

回到上面的例子,如果银行的利息率是5%的复利,请问100元存款翻倍需要多少时间?

计算结果是13.86年:

上式最后一个等号,表明用72除以增长率,可以得到翻倍的大致时间,这就是72法则的来源。

作者:阮一峰

A/B Sides of Life | 人生A/B面 - 和babynana的书信(5)


选富女孩,你要付出你的心,选穷女孩,你要提升自己的能力。还有两条方法能让人的快乐,就是节制欲望,让它和自己的能力相配,而且选定了一条路,就再也不要幻想另一条路的风光。


zx:

我没记错你的名字吧?记得我们在某处见过。其实你的故事很像《Mad Men》(广告狂人)的业务经理Pete,有兴趣你可以找这部剧集来看,它呈现的也许就是你选择了富家女孩的婚后生活。Pete也不是完全的穷小子,他家很有钱,但是和父母关系很僵,有半个街区房产的父亲甚至不愿意拿一毛钱给他买套结婚的房子。为富不仁这个词未必是对陌生人,对亲人也是,金钱可能会把人的温情全部冻死,越富有并不代表越慷慨越快乐。有钱能获取经济自由,但未必能得到精神上的幸福、满足和自由。

这部剧集还有另一个人物,就是男主角Don,他能力出众,经济富裕,有美貌的妻子和两个性感的情人,但是仍然没有解除他内心的孤独,婚外情也让他陷入深深的道德负疚感中。所以你的问题其实不是要不要结婚,而是你要先问问自己到底想要什么?锁在保险柜里的自由还是纸船里的幸福?两者都有显而易见的缺陷,跟富女孩结婚,你要忍受她的乏味、任性,可能还有你的前途永远捏在她手里的那份颐指气使,你要承受被控制的阴影,即使她性格温柔,所谓的“少奋斗20年”也未必就永远牢靠,他父亲退休了呢?双规了呢?得罪了大人物挨整了呢?如果你要把自己的前途寄托在另一个人手上,你就要时刻担忧,谨小慎微,生怕行差踏错,那么经济自由也许要用一生的如坐针毡来换取。

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Two Girls One Story 2 | 两个女孩 一段故事2 - 和babynana的书信 (4)


从这一刻起,她给我的感觉完全不同了——原本只有一个问题,现在却一下子多出很多问题。我有点后悔我问错了人,徒增这么多烦恼;也叹我问对了人,让我平静如水的生活多了一丝涟漪。


这个插曲有一个女主角,我们在一年多前的某个活动中认识,她也并非是我所说的那种有“第一感觉”的女孩子,今年毕业,学财会。我因为一直在创业的道路上前行,喜欢那种打拼的状态,但对财务报表及其厌烦。我知道财务对运营一个公司来讲极为重要。作为一个经营企业的人,一定要懂财务。那我不懂,就希望找一个懂的伴侣,互相取长补短。有一次,我借这个话头,半开玩笑地跟她说让她做我的女朋友,她以有男朋友回绝。我没强求。但是因为两个人挺聊得来的,可以说无话不谈,所以也保持着联系。

就在我征求她这门婚事的意见,说到“我也许今年要回沈阳结婚”的时候,她突然对我说“你不要回去,我不想让你走”。虽然在后面她用很多其他说辞来想把这句话解释清白,但我还是从她的眼神中读出一种情感。这种眼神和情感,让我心动,让我体内流动着一种酥麻的感觉,还有那种男性最原始的欲望。

从这一刻起,她给我的感觉完全不同了——原本只有一个问题,现在却一下子多出很多问题。我有点后悔我问错了人,徒增这么多烦恼;也叹我问对了人,让我平静如水的生活多了一丝涟漪。

我跟这个女孩子在一起,会很快乐,可以话题一直不断,可以放下包袱做自己。她的眼睛会发光,分析问题也较同龄人有见地,会设身处地的为人着想。如果不考虑其他因素,我会愿意爱这个女孩子,这个女孩子也会愿意和我在一起,会对我有感觉。没有更美好的事了。

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Two Girls One Story 1 两个女孩 一段故事1 - 和babynana的书信 (3)

这其中有一个插曲,我想这也许是只有在电影中才出现的情节,却真真发生在我生活之中了…


babynana:

男大当婚,我也到了适婚的年龄,家里总会有人来介绍。家父是国企中的一名普通中层干部,为人老实厚道,人缘不错。我呢,是在家乡当地最有名的大学,读的也是全国最好的专业,算是普通家庭的优良子弟。每年春节都会有以各种名义聚会的相亲。我因为一直在上海工作,自己挺满意现在的生活状态,也没特别想找一个女朋友。不过因为自己也知道可以考虑结婚的问题了,也就没太拒绝去相亲。

今年春节通过介绍遇到一位女孩子,个人条件不错,戏表演系去年毕业,现在公司上班。家庭条件估计也不错,其父在政府工作,因为看意思对方并不太愿意透露具体工作,可能官位不小,在地方上比较有实力。小女孩刚毕业家里就给配车,可以看出家庭条件比我家好很多。用家父的话是高攀了的。

今年春节通过介绍遇到一位女孩子,个人条件不错,中戏表演系去年毕业,现在在中国移动上班。家庭条件估计也不错,其父在政府工作(因为看意思对方并不太愿意透露具体工作,可能官位不小),应该在地方上比较有实力(中戏学表演出来跟中移动八杆子打不着,却能安排进去,可见一斑),小女孩刚毕业家里就给配车。可以看出家庭条件比我家好很多。用家父的话是高攀了的。

就是这样一个女孩和家庭,我家这边都很愿意我们交往,我想他们更看重的是这个女孩子的家庭背景。父母比较尊重我的意见,家母觉得我自己幸福更重要,家父等着抱孙子望眼欲穿,曾多次表示抱上孙子今生无憾这类话。我虽然没感觉太大压力,不过反反复复说这样的话,还是会记在心里。

春节期间,两个人见过几次面。我对这个女孩子兴趣始终不是很浓,用您的话说,志趣不相投。虽然我也能讲一些美食啊、衣服搭配啊这些女孩子感兴趣的话题,不过很难深入就一个话题展开讨论,可能是由于年龄关系,也可能是她对我的考验(毕竟家里条件好,找女婿时更要睁大眼,这我理解),感觉小女孩思想和我并不太容易交流。另外,我现在在上海,工作开展的也算有声有色,不会短期内考虑回沈阳重新发展。而且,我是比较注重第一印象、第一感觉的人,第一印象没什么感觉的人,以后也很难会有感觉,而第一感觉比较好的人,自己会强化这种好的感觉。
家里说小女孩漂亮,也许是个人审美不同,我没感觉出,但也不难看,就是一般人。如果说我哪里会有心动的感觉,也许就是在进她车子的一瞬间,那种被女人香环绕的感觉。不过我觉得这是因为我太长时间没接触女人,而产生的一种错觉。实际情况应该是每个女人都会有吸引男人的“体香”,如果习惯了,就不觉得有什么特别,因为我长时间没这么近距离接触异性,所以一旦有了这种感觉便觉得是一个特例,其实它是一种常态。

春节放假过后,我回到上海,也一直跟这个女孩保持着联系。我的想法是,虽然没有第一眼的那种坠入爱河的感觉,但是感情可以慢慢通过了解培养。而说实话我更看重她家的家庭条件。因为我在上海的这些年,悟出了一个道理,就是人生最宝贵的是自由,而自由在当下这个社会要以财务自由为基础,所谓没钱寸步难行。我虽然不是拜金主义,但我看重财富的“价值”。我相信爱情,努力挣钱只是不希望我的爱情受到别人金钱的考验。绝大多数人一辈子都在跟钱打交道,有人说它只是个工具,有的人一辈子都是它的奴隶,比如现在的车奴、房奴。尤其是在上海,我估计了一下,按现在的势头下去,我干到退休,可能都买不起一套我中意的房子。家里虽有几套房产,可以支持我付首付,但我并不想花父母的钱。总之,这不是我想要的生活,我不想一辈子做它的奴隶,所以我给自己的财务自由定了一个叫做“三个一”的计划。但具体怎么实施,我在文中也说很难有时间表,我虽然可以现在通过努力让这种概率加大,不过也可以预计到未来困难重重,风险很大。

我对感情的态度不是很积极,并不是我缺少这种情感,而是在这个社会里情感真的很脆弱,看了《蜗居》以后更是加深了我的这种看法。郭海萍之前遇到过的困难,我基本也经历过,只是我没有她那么要强而已,所以相对地也更能接受稍差一点的结果。我也有过轰轰烈烈的感情,但是,现在的想法改变了。没钱没房子就想“泡妞”、“把妹”,我拿什么给女孩子幸福呢?感情并不能替代柴米油盐,我都过不了我自己这一关。

那么我就更看重这个女孩子的家庭条件。您也许会想我是多么“势力眼”,但实际情况就是如此——一方面是现成的“金龟婿”,不但可以少奋斗20年,还可以起点就比别人高,更有机会实现更大的理想;另一方面是在创业的路上轰轰烈烈,享受这个过程,但抱着一个未知结果的理想。如果我放弃这些不着边际的所谓理想,回到沈阳,在她家的光环下,重新做一番事业,我想起点和平台都会比现在的要高,进展的也会更顺利。毕竟,跟政界要人有亲缘关系,在当今社会的普遍价值观下,是可遇不可求的东西。

我对这份姻缘始终保持着理性,始终知道自己要的是什么。不过如果我和她结婚了,我会成为一个好丈夫,给她幸福,这是做人应该做的。虽然做这个决定的主要原因是我想快速脱贫的这种看起来很龌龊的想法,不过我并不觉得追逐自己想要的生活,有多大错误。而且,现在的社会风气是以成败论英雄,不成功却成仁的例子少之又少,而失败的人再怎么说都不会比成功的人幸福。

所以,如果没有意外,我会跟这个女孩子结婚。虽说也许没有爱情,但也可以有亲情。

回到上海之后,我也征求过其他朋友的意见。这其中有一个插曲,可能这段插曲才是真正的主要剧情。我想这也许是只有在电影中才出现的情节,却真真发生在我生活之中了…


下一封信:两个女孩 一段故事2
从这一刻起,她给我的感觉完全不同了——原本只有一个问题,现在却一下多出许多。我有点后悔我问错了人,徒增这么多烦恼;也叹我问对了人,让我平静如水的生活多了一丝涟漪…

上一封信:要不要结?
婚姻需要两情相悦、志趣相投、实力相称,性格、兴趣、思想、价值观、职业、收入等方面最好接近,有人觉得互补的伴侣关系也不错,但我很难想象与一个各方面都没有交集的人怎么交往,双方也没有必要为了另一个人从头到尾的改变自己。

Marry or Not 要不要结? - 和babynana的书信 (2)

婚姻需要两情相悦、志趣相投、实力相称,性格、兴趣、思想、价值观、职业、收入等方面最好接近,有人觉得互补的伴侣关系也不错,但我很难想象与一个各方面都没有交集的人怎么交往,双方也没有必要为了另一个人从头到尾的改变自己。


zx:

这几年一直没有恋爱,由于职业的关系,总是独来独往,跟外界接触很少,也就很难遇到喜欢的人。写作需要宁静,经常夜间工作,所以作息表很难与人同步。两个人长期相处,要有共同的兴趣和话题,虽然平常人也会喜欢电影和读书,但是深度思考的人并不多,双方能够有思想上的切磋就更少了。我没有抱独身主义,只是觉得还没有遇到合适的人。

你的提问有点奇怪,“要不要结”的前提是已经有结婚的对象,如果连这个前提都没有,结婚又从何谈起呢?如果你已经有女朋友,结婚就是时间问题了,除非你对她不满意。

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Why Not Marry 为什么不结婚? - 和babynana的书信 (1)

本通信是一年前与babynana的来往信件记录。其中波澜随不完全能从字里行间体现,但其扼要仍可以管窥豹,回忆仍如泉涌。现节选发出。


babynana:

我很好奇地想问下您为什么不结婚?没别的意思,因为我最近在考虑我要不要结的问题,想侧面听听朋友们的意见。您是很独立的人,相信您的意见会对我有所启示。

请不吝赐教,谢谢!

--
zx

2010-03-04


下一封信:要不要结?
婚姻需要两情相悦、志趣相投、实力相称,性格、兴趣、思想、价值观、职业、收入等方面最好接近,有人觉得互补的伴侣关系也不错,但我很难想象与一个各方面都没有交集的人怎么交往,双方也没有必要为了另一个人从头到尾的改变自己。

自我修复的程序设计

灵感来源:
蚁穴中,蚁后死亡了,会有新的蚂蚁“变异”为蚁后,继续维持整个蚂蚁社会的运作;人类某些组织受损,也可自动修复保持整个机体的正常运作。

目的:
所以,如果可以让程序也能实现这种“自我修复”的功能,从而使之更强大更健壮,更不易受外界侵扰。

方案浅析:
1. 通过“轮询机器人”遍历所有代码,并且和历史代码比对,如果遇到和历史代码不同的地方则触发“判断恢复”操作,将代码修复。
2. 通过“输入输出比对机器人”,遍历提供所有文件、函数的输入并监控输出,一旦输出存在不是预设值的时候,则触发“判断恢复”操作。
3. 除了“判断恢复”也可以把修改之后的代码,在“虚拟空间”里跑并进行A/B测试,观测结果如果统计回归数据比原来好,并且评估程序认定未来也不会有问题,则迭代到现有主版本中运行。
4. 升级:遇到出错的函数或文件,则发送给分析机器人分析为什么会出错,并改正。

人活着为了什么?

曾经,我懵懂少年。我的理想颇为远大,也颇为遥远,现在想起来虽然有些不好意思,但是决不觉得当时幼稚。我记得当初在小学毕业的时候,大家都互相留同学录,我在“你的理想”一栏中是这么填写的,那就是当时的我的内心想法——我要在浑南那一带盖一座地下“城市”!当时的浑南还是一片菜地,一片绿油油。现在几乎成了沈阳南部进入沈阳的标志了。

  曾经,我豪情壮志。像是受到无限的鼓励,一心要达成自己要做的事情。制定宏伟的目标,觉得自己是世界上的唯一一个。我一定会成功,一定会出人头地,一定会有无限美好的将来。碰了那么多壁,周围的人都试图、但却从未将我阻拦。那么长时间,我的菱角被磨平,一路伤怀,愤世嫉俗。

  曾经,我情窦初开。那么长、那么长的分别的日子里,想着只要能和自己心爱的人共度一生,哪怕放弃我的理想,哪怕让自己的将来很平淡,哪怕自己一无所成,成为一介平民百姓。只要和她在一起,只要毫无顾虑的好好的、平平淡淡地过生活,心心相映,就好了。

  现实

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呼吸、呼吸系统、搭建呼吸系统

人通过鼻孔呼吸氧气,氧气通过呼吸道进入肺部,在肺泡里与携带其他气体的血液交换,再通过血液循环供给到全身。

人为什么要呼吸?

人的呼吸与其他哺乳动物的呼吸有什么相同和不同?

哪种方式好?好在哪里?哪种方式不好?不好在哪里?

最经济最有效的方式是哪种?

多长时间间隔一次吸气比较合适?为什么?

为什么体积小的动物呼吸频率快,体积大的动物呼吸频率慢?

是体积影响呼吸频率吗?还是质量?或活动量?或交换比率?

单次最大必要呼吸次数=单位时间内需要的氧气量/单次最大量呼吸所含氧气量

我有一个梦系列

1 绘制宇宙的结构

  1) 宇宙的起源、发展、演化、现状、轨迹、最终命运;

  2) 黑洞、白洞、量子力学、中子星、类星体、广义相对论、超光速;

  3) 物质、反物质、x粒子、夸克、超弦理论、物质无限分隔论;

  4) 大质量物体运动的引力波;

2 人类基因组计划

  1) 核心内容;

  2) 生命起源、进化、发展、趋势、最终形态;

  3) 脱氧核糖核酸;

  4) 完美人、疾病、衰老、死亡、永生;

3 “人”

  1) 人工智能;

  2) 图灵检验:有精神、意识、思维的电脑;

  3) 生物电流与技术电,人体组织的物理或机械表示;

  4) “超人”:体质、体力、脑力;

4 环境与人类发展

  1) 数学、物理学、电子学、化学、生物学……太空科学等边沿科学;

  2) 核能、激光、计算机、交通运输、海洋农业;

  3) 生物工程:食物、睡眠、仿生;

  4) 太空定居点、光纤、卫星微处理器、常温常态超导、全自动;